Question

14．已知函数f（x）=lnx-ax在x=2处的切线l与直线x+2y-3=0平行．记函数g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}{x^2}$-bx．
（1）求实数a的值；
（2）令h（x）=g（x）+2x，若h（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；
（3）设x₁，x₂（x₁＜x₂）是函数g（x）的两个极值点，若b≥$\frac{3}{2}$，且g（x₁）-g（x₂）≥k恒成立，求实数k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可求实数a的值；
（2）求出g（x）的导数，根据g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，结合二次函数的性质得到关于b的不等式组，解出即可；
（3）求函数的导数，根据函数极值之间的关系即可证明不等式．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
∵函数在x=2处的切线l与直线x+2y-3=0平行，
∴k=$\frac{1}{2}$-a=-$\frac{1}{2}$，
解得a=1；     
（2）∵g（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²-（b-1）x，
∴g′（x）=$\frac{{x}^{2}-（b-1）x+1}{x}$，
由题意得：g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，
∵x＞0，设u（x）=x²-（b-1）x+1，则u（0）=1＞0，
只需$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-1}{2}＞0}\\{△{=（b-1）}^{2}-4＞0}\end{array}\right.$，解得：b＞3；
（3）∵g（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²-（b+1）x，
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$+x-（b+1）=$\frac{{x}^{2}-（b+1）x+1}{x}$，
由g′（x）=0得x²-（b+1）x+1=0
∴x₁+x₂=b+1，x₁x₂=1，
∴x₂=$\frac{1}{{x}_{1}}$，
∵b≥$\frac{3}{2}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}≥\frac{5}{2}}\\{0{＜x}_{1}＜\frac{1}{{x}_{1}}}\end{array}\right.$，解得：0＜x₁≤$\frac{1}{2}$，
∴g（x₁）-g（x₂）=ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{2}$（x₁²-x₂²）-（b+1）（x₁-x₂）=2lnx₁-$\frac{1}{2}$（x₁²-$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$），
设F（x）=2lnx-$\frac{1}{2}$（x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$）（0＜x≤$\frac{1}{2}$），
则F′（x）=$\frac{2}{x}$-x-$\frac{1}{{x}^{3}}$=$\frac{{-{（x}^{2}-1）}^{2}}{{x}^{3}}$＜0
∴F（x）在（0，$\frac{1}{2}$]上单调递减； 
∴当x₁=$\frac{1}{2}$时，F（x）_min=F（$\frac{1}{2}$）=$\frac{15}{8}$-2ln2，
∴k≤$\frac{15}{8}$-2ln2，
∴k的最大值为$\frac{15}{8}$-2ln2．

点评 本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，利用函数的极值，最值和导数之间是关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．