Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），点（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆C上，且椭圆C的离心率为$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点F的直线与椭圆C交于P、Q两点，A为椭圆C的右顶点，直线PA，QA分别交直线l：x=4于M，N两点，求证：FM⊥FN．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，联立解得即可得出．
（2）由（1）知，A（2，0），F（1，0），右准线方程为x=4．设直线PQ的方程为：my=x-1．P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为：（3m²+4）y²+6my-9=0．直线PA的方程为：y-0=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$（x-2），可得M$（4，\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}-2}）$．同理可得N$（4，\frac{2{y}_{2}}{{x}_{2}-2}）$．利用向量数量积运算性质及其一元二次方程的根与系数的关系，只要证明$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}$=0即可．

解答 （1）解：由题意可得：$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，
联立解得a=2，b²=3，c=1．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）证明：由（1）知，A（2，0），F（1，0），右准线方程为x=4．设直线PQ的方程为：my=x-1．P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：（3m²+4）y²+6my-9=0．
则y₁+y₂=$\frac{-6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁•y₂=$\frac{-9}{3{m}^{2}+4}$，
直线PA的方程为：y-0=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$（x-2），令x=4，则y=$\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$，可得M$（4，\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}-2}）$．
同理可得N$（4，\frac{2{y}_{2}}{{x}_{2}-2}）$．
∴$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}$=9+$\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$×$\frac{2{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=9+$\frac{4{y}_{1}{y}_{2}}{（m{y}_{1}-1）（m{y}_{2}-1）}$=9+$\frac{4{y}_{1}{y}_{2}}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}-m（{y}_{1}+{y}_{2}）+1}$=9+$\frac{4×\frac{-9}{3{m}^{2}+4}}{\frac{-9{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}+\frac{6{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}+1}$=9-9=0，
∴$\overrightarrow{FM}$⊥$\overrightarrow{FN}$，即FM⊥FN．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．