Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F₁，F₂在x轴上，焦距为，P是椭圆上一动点，△PF₁F₂的面积最大值为2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点N，若，，求证：λ₁+λ₂为定值．

Answer 1

（Ⅰ）解：设椭圆的标准方程为（a＞b＞0）．
因为焦距为，所以c=．
当点P在短轴的顶点时，P到F₁F₂的距离最大，所以此时△PF₁F₂的面积最大，
所以，所以．
因为a²=b²+c²=4，所以a²=4，
所以椭圆方程为． …（5分）
（Ⅱ）证明：依题意，直线l的斜率存在，可设为k，则直线l：y=k（x-1）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立消y得 （2k²+1）x²-4k²x+2k²-4=0．
显然△＞0，且 ，．
因为直线l交y轴于点N，所以N（0，-k）．
所以，，且
所以x₁=λ₁（1-x₁），所以，
同理．
所以 ．
即λ₁+λ₂为定值是．…（14分）
分析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程，利用焦距为，求得c的值，根据当点P在短轴的顶点时，P到F₁F₂的距离最大，所以此时△PF₁F₂的面积最大为2，建立方程，从而可得椭圆方程；
（Ⅱ）直线l与椭圆方程联立，利用，，用A，B的横坐标表示λ₁，λ₂，从而可得结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．