Question

如图，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，其下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，梯形周长y是否是腰长x的函数？如果是，写出函数关系式，并求出定义域.

Answer 1

思路分析：判定两个变量是否构成函数，关键看两个变量之间的对应关系是否满足函数定义.该题中的每一个腰长都能对应唯一的周长值，因此周长y是腰长x的函数.若要用腰长表示周长的关系式，应知等腰梯形各边长，下底长已知为2R，两腰长为2x,因此只需用已知量(半径R)和腰长x把上底表示出来，即可写出周长与腰长的函数关系式.

解：由题意可知，每一个腰长x都能对应唯一的周长值y，因此周长y是腰长x的函数.

如下图，

AB=2R，C、D在⊙O的半圆周上，设腰长AD=BC=x,作DE⊥AE，垂足为E，连结BD，那么∠ADB是直角，由此Rt△ADE∽Rt△ABD.

    ∴AD²=AE·AB,即AE=.

    ∴CD=AB-2AE=2R-.

    ∴周长y满足关系式

    y=2R+2x+(2R-)=-+2x+4R，

    即周长y和腰长x间的函数关系式y=-+2x+4R.

    ∵ABCD是圆内接梯形，∴AD＞0，AE＞0，CD＞0，即解不等式组，得函数y的定义域为{x|0＜x＜R}.