Question

2．已知数列{a_n}满足：（1+a₁）•（2+a₂）•（4+a₃）•…•（2^n-1+a_n）=n²，则{a_n}的通项公式为$\left\{\begin{array}{l}{0，n=1}\\{（\frac{n}{n-1}）^{2}-{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由已知条件，先令n=1，求出a₁；再利用原式求出n≥2时数列的前n-1项的表达式，把原式与n≥2时数列的前n-1项的表达式相除，由此能得到a_n关于n的方程，从而能求出{a_n}的通项公式．

解答 解：∵（1+a₁）•（2+a₂）•（4+a₃）•…（2^n-2+a_n-1）•（2^n-1+a_n）=n²，①
∴（1+a₁）•（2+a₂）•（4+a₃）•…•（2^n-2+a_n-1）=（n-1）²，n≥2，②
∴当n=1时，1+a₁=1，解得a₁=0，
当n≥2时，$\frac{①}{②}$，得${2}^{n-1}+{a}_{n}=（\frac{n}{n-1}）^{2}$，
∴a_n=$（\frac{n}{n-1}）^{2}-{2}^{n-1}$．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{0，n=1}\\{（\frac{n}{n-1}）^{2}-{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{0，n=1}\\{（\frac{n}{n-1}）^{2}-{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意作商法和分类讨论思想的合理运用．