Question

11．证明：“双勾函数”f（x）=ax+$\frac{b}{x}$（a＞0，b＞0）：在 （-∞，-$\sqrt{\frac{b}{a}}$]，[$\sqrt{\frac{b}{a}}$，+∞）上单调递增，在[-$\sqrt{\frac{b}{a}}$，0），（0，$\sqrt{\frac{b}{a}}$]上单调递减．

Answer 1

分析 方法1：求函数的导数，利用导数进行证明函数的单调性即可．
方法2：利用函数单调性的定义进行证明．

解答 解：函数的导数f′（x）=a-$\frac{b}{{x}^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}-b}{{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0得$\frac{a{x}^{2}-b}{{x}^{2}}$＞0，即ax²-b＞0，即x²＞$\frac{b}{a}$，解得x＞$\sqrt{\frac{b}{a}}$或x＜-$\sqrt{\frac{b}{a}}$，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得$\frac{a{x}^{2}-b}{{x}^{2}}$＜0，即ax²-b＜0，即x²＜$\frac{b}{a}$，解得-$\sqrt{\frac{b}{a}}$＜x＜$\sqrt{\frac{b}{a}}$且x≠0，此时函数单调递减，
即函数f（x）在 （-∞，-$\sqrt{\frac{b}{a}}$]，[$\sqrt{\frac{b}{a}}$，+∞）上单调递增，在[-$\sqrt{\frac{b}{a}}$，0），（0，$\sqrt{\frac{b}{a}}$]上单调递减．
方法2：定义法：
设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=ax₁+$\frac{b}{{x}_{1}}$-ax₂-$\frac{b}{{x}_{2}}$=a（x₁-x₂）+$\frac{b（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（a-$\frac{b}{{x}_{1}{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）$\frac{a{x}_{1}{x}_{2}-b}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，
若0＜x₁＜x₂＜$\sqrt{\frac{b}{a}}$，则0＜x₁x₂＜$\frac{b}{a}$，则0＜ax₁x₂＜b，-b＜ax₁x₂-b＜0，
则f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），此时函数单调递减．
若$\sqrt{\frac{b}{a}}$＜x₁＜x₂，则x₁x₂＞$\frac{b}{a}$，则ax₁x₂＞b，ax₁x₂-b＞0，
则f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），此时函数单调递增．
同理当在 （-∞，-$\sqrt{\frac{b}{a}}$]上单调递增，在[-$\sqrt{\frac{b}{a}}$，0）上单调递减．

点评 本题主要考查函数单调性的判断，利用导数法是解决本题的关键．