Question

【题目】已知是抛物线的焦点，点在轴上，为坐标原点，且满足，经过点且垂直于轴的直线与抛物线交于、两点，且.

（1）求抛物线的方程；

（2）直线与抛物线交于、两点，若，求点到直线的最大距离.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求得点的坐标，可得出直线的方程，与抛物线的方程联立，结合求出正实数的值，进而可得出抛物线的方程；

（2）设点，，设的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合求得的值，可得出直线所过定点的坐标，由此可得出点到直线的最大距离.

（1）易知点，又，所以点，则直线的方程为.

联立，解得或，所以.

故抛物线的方程为；

（2）设的方程为，联立有，

设点，，则，所以.

所以，解得.

所以直线的方程为，恒过点.

又点，故当直线与轴垂直时，点到直线的最大距离为.