Question

【题目】(1)解关于x的不等式x2－2mx＋m＋1＞0；

(2)解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（1）根据判别式与零大小关系分类讨论，最后写成解集形式，（2）根据a与零大小，以及两根大小分二级讨论.

试题解析：解　(1)原不等式对应方程的判别式Δ＝(－2m)2－4(m＋1)＝4(m2－m－1).

当m2－m－1＞0，即m＞或m＜时，由于方程x2－2mx＋m＋1＝0的两根是m±，所以原不等式的解集是{x|x＜m－，或x＞m＋}；

当Δ＝0，即m＝时，

不等式的解集为{x|x∈R，且x≠m}；

当Δ＜0，即＜m＜时，不等式的解集为R.

综上，当m＞或m＜时，不等式的解集为{x|x＜m－，或x＞m＋}；当m＝时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠m}；当＜m＜时，不等式的解集为R.

(2)原不等式可化为(ax－1)(x－2)＜0.

①当a＞0时，原不等式可以化为a(x－2)＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)·＜0.因为方程(x－2)＝0的两个根分别是2，，所以当0＜a＜时，2＜，则原不等式的解集是；当a＝时，原不等式的解集是；当a＞时，＜2，则原不等式的解集是.

②当a＝0时，原不等式为－(x－2)＜0，解得x＞2，即原不等式的解集是{x|x＞2}.

③当a＜0时，原不等式可以化为a(x－2)＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)＞0，由于＜2，故原不等式的解集是.

综上，当a＝0时，不等式解集为(2，＋∞)；当0＜a＜时，不等式解集为；当a＝时，不等式解集为；当a＞时，不等式解集为；当a＜0时，不等式解集为∪(2，＋∞).