Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x）=f（2-x）成立，且当x∈（-∞，1）时，（x-1）f′（x）＜0（其中f'（x）为f（x）的导数）．设a=f(0)，b=f(

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)，c=f(3)，则a、b、c三者的大小关系是（　　）

• A、a＜b＜c
• B、c＜a＜b
• C、c＜b＜a
• D、b＜c＜a

Answer 1

分析：由题意得对任意x∈R，都有f（x）=f（2-x）成立，得到函数的对称轴为x=1，所以f（3）=f（-1）．由当x∈（-∞，1）时，（x-1）f′（x）＜0，得f′（x）＞0，所以函数f（x）在（-∞，1）上单调递增．比较自变量的大小即可得到函数值的大小．

解答：解：由题意得：对任意x∈R，都有f（x）=f（2-x）成立，
所以函数的对称轴为x=1，所以f（3）=f（-1）．
因为当x∈（-∞，1）时，（x-1）f′（x）＜0，
所以f′（x）＞0，
所以函数f（x）在（-∞，1）上单调递增．
因为-1＜0＜

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，
所以f（-1）＜f（0）＜f（

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2

），即f（3）＜f（0）＜f（

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2

），
所以c＜a＜b．
故选B．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握函数的性质如奇偶性、单调性、周期性、对称性等，函数的性质一直是各种考试考查的重点内容．