Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数且a≠0）满足f（1-x）=f（1+x），且方程f（x）=x有等根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=1-2f（x）（x＞1）的反函数为g^-1（x），若g^-1（2^2x）＞m（3-2^x）对x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先由f（1-x）=f（1+x）得函数对称轴，再由方程f（x）=x有等根，得方程f（x）=x的判别式等于零，最后解方程即可；
（2）由（1）得出g（x）的解析式，再将x用y表示，最后交换x、y，即可求出反函数的解析式，从而得1+2^x＞m（3-2^x）对x∈[1，2]恒成立，t=2^x，转化成关于t的一次函数恒成立问题，根据函数在[2，4]上的单调性建立不等式，从而求出所求．

解答：解：（1）∵f（1-x）=f（1+x），
∴函数的对称轴为x=1，即-

b

2a

=1
∵方程f（x）=x有等根，∴△=（b-1）²=0
∴b=1，a=-

1

2

∴f(x)=-

1

2

x2+x．
（2）由（1）得g（x）=x²-2x+1，
当x＞1时，y=（x-1）²＞0⇒x=1+

y

⇒g^-1（x）=1+

x

（x＞0），
∵g^-1（2^2x）＞m（3-2^x）对x∈[1，2]恒成立，
即1+2^x＞m（3-2^x）对x∈[1，2]恒成立，
令t=2^x，则（m+1）t+1-3m＞0，对t∈[2，4]恒成立，
∴

2(m+1)+1-3m＞0 4(m+1)+1-3m＞0

⇒-5＜m＜3．

点评：本题考查了二次函数解析式的求法，解题时要熟练掌握二次函数的图象特征，还考查了反函数，以及反函数与原函数的之间的关系，同时考查了恒成立问题和最值问题，是一道综合题．