Question

若[x]表示不超过x的最大整数，如[-2.4]=-3，[3.14]=3，定义函数f（x）=[x[x]]，当x∈[0，n）（n∈N^*且N≥2）时，设函数f（x）的值域为集合A，记A中的元素个数为a_n，则

2an+n+7

n

的最小值为（　　）

• A、

  11

  2

• B、6
• C、

  13

  2

• D、以上答案都不对

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：新定义

分析：由题意先求出[x]，再求出x[x]，然后再求出[x[x]]，应用等差数列求和公式得到a_n，进而得到

2an+n+7

n

，用基本不等式求出最小值．

解答： 解：根据题意得，[x]=

0，x∈[0，1) 1，x∈[1，2) 2，x∈[2，3) … n-1，x∈[n-1，n)

，
∴x[x]=

0，x∈[0，1) x，x∈[1，2) 2x，x∈[2，3) … (n-1)x，x∈[n-1，n)

，
∴[x[x]]在各区间中的元素个数为：1，1，2，3，…，n-1，
∴a_n=1+

n(n-1)

2

，
∴

2an+n+7

n

=

2+n2-n+n+7

n

=

n2+9

n

=n+

9

n

≥2

n• 9 n

=6，
当且仅当n=3，上式取等号，
即

2an+n+7

n

的最小值为6．
故选B．

点评：本题主要考查通过取整函数来建立新函数，进而研究其定义域和值域，正确理解定义，是快速解题的关键，同时考查了数列求和和基本不等式的运用．