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已知a∈R，函数 $数学公式$ （其中e为自然对数的底）．
（1）当a＞0时，求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（2）是否存在实数x₀∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直？若存在求出x₀的值，若不存在，请说明理由．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ∴f′（x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，令f′（x）=0得，x=a，
①若0＜a＜e，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，当x∈（a，e）时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（a，e）上单调递增，
所以当x=a时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值lna．
②若a≥e，则f′（x）≤0，函数f（x）在区间（0，e]上单调递减，所以当x=e时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值 $\text{[math]}$ ．；
综上所述，当0＜a＜e时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值lna，当a≥e时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值 $\text{[math]}$ ．；
（2）不存在．证明如下
$\text{[math]}$ ，x∈（0，e]，
∴g′（x）= $\text{[math]}$ •e^x+（lnx-1）e^x+1=（ $\text{[math]}$ +lnx-1）e^x+1
由（1）知，当a=1时， $\text{[math]}$ ，此时f（x）在区间（0，e]上取得最小值ln1=0，即 $\text{[math]}$ ，而e^x＞0，所以g′（x）≥1＞0，
又曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直，等价于g′（x₀）=0有实数根，而g′（x）＞0，所以方程g′（x₀）=0无实数根，
故不存在实数x₀∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直．
分析：（1）得出f′（x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，利用函数单调性与导数的关系寻求f（x）在区间（0，e]上单调性，得出最小值．
（2）曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直，等价于g′（x₀）=0有实数根．g′（x）= $\text{[math]}$ •e^x+（lnx-1）e^x+1=（ $\text{[math]}$ +lnx-1）e^x+1其中括号内部分正好为当a=1时， $\text{[math]}$ ，利用（1）的结论，得出g′（x）＞0，所以方程g′（x₀）=0无实数根，故不存在．
点评：本题考查函数单调性与导数的关系，函数最值求解，导数的几何意义，考查分类讨论、转化、整体代换、计算能力．是好题．

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已知函数f（x）=Asin（ωx+∅），（A＞0，ω＞0，0＜∅＜π），x∈R的最大值是2，最小正周期为2π，其图象经过点M(

，1)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）已知a∈(

，π)，且f(a+

2π

)=-

，求tan（2π-a）的值．

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给出下列四个命题：
①已知

=(3， 4)，

=(0， 1)，则

在

方向上的投影为4；
②若函数y=（a+b）cos²x+（a-b）sin²x（x∈R）的值恒等于2，则点（a，b）关于原点对称的点的坐标是（0，-2）；
③函数f(x)=

lgx

在（0，+∞）上是减函数；
④已知函数f（x）=ax²+（b+c）x+1（a≠0）是偶函数，其定义域为[a-c，b]，则点（a，b）的轨迹是直线；
⑤P是△ABC边BC的中线AD上异于A、D的动点，AD=3，则

•(

)的取值范围是[-

， 0)．
其中所有正确命题的序号是

①③④⑤

．

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已知a，b是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的两个不等实根，函数f(x)=

2x-k

x2+1

的定义域为[a，b]．
（1）当k=0时，求函数f（x）的值域；
（2）证明：函数f（x）在其定义域[a，b]上是增函数；
（3）在（1）的条件下，设函数g(x)=x3-3m2x+

≤x≤

， 0＜m＜

)，若对任意的x1∈[-

，

]，总存在x2∈[-

，

]，使得f（x₂）=g（x₁）成立，求实数m的取值范围．

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已知a＞0，f（x）=a•e^x是定义在R上的函数，函数f-1(x)=ln

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（1）求a的值；
（2）设函数g(x)=

x-m

f-1(x)

，当x＞0且x≠1时，不等式g(x)＞

恒成立，求实数m的取值集合．

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已知a＞

且a≠1．条件p：函数f（x）=log_（2a-1）x在其定义域上是减函数；条件q：函数g(x)=

x+|x-a|-2

的定义域为R．如果p∨q为真，试求a的取值范围．

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已知a∈R，函数（其中e为自然对数的底）．（1）当a＞0时，求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；（2）是否存在实数x0∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在求出x0的值，若不存在，请说明理由．