Question

20．（文）在△ABC中，已知sinA=$\frac{5}{13}$，cosB=$\frac{3}{5}$，则cosC=-$\frac{16}{65}$；
（理）在△ABC中，已知tanA，tanB是x的方程x²+p（x+1）+1=0的两个根，则∠C=$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 （文）由条件利用同角三角函数的基本关系，求出sinB、cosA的值，再根据cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB 计算求得结果．
（理）利用韦达定理、两角和的正切公式求得 tan（A+B）的值，可得A+B的值，进而求得C的值．

解答 解：（文）△ABC中，∵已知sinA=$\frac{5}{13}$∈（0，$\frac{1}{2}$），cosB=$\frac{3}{5}$∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴B∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$），A∈（0，$\frac{1}{2}$ ），或A∈（$\frac{5π}{6}$，π）（舍去，不满足三角形内角和公式），
∴sinB=$\sqrt{{1-cos}^{2}B}$=$\frac{4}{5}$，cosA=$\sqrt{{1-sin}^{2}A}$=$\frac{12}{13}$，
则cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-$\frac{12}{13}×\frac{3}{5}$+$\frac{5}{13}×\frac{4}{5}$=-$\frac{16}{65}$，
故答案为：$-\frac{16}{65}$．
（理）在△ABC中，已知tanA，tanB是x的方程x²+p（x+1）+1=0的两个根，
故有tanA+tanB=-p，tanA•tanB=p+1，∴tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{-p}{-p}$=1，
在结合A+B∈（0，π），可得A+B=$\frac{π}{4}$，∴C=π-（A+B）=$\frac{3π}{4}$，
故答案为：$\frac{3π}{4}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，韦达定理以及两角和差的三角公式，属于基础题．