Question

设函数f（x）=

1

3

x³+x²+（m²-1）x（x∈R）
（1）当m=1时，求函数f（x）的单调区间与极值
（2）若函数y=f（sinx）在x∈[0，

π

2

]上单调递增，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知我们易求出函数的导函数，令导函数值为0，我们则求出导函数的零点，根据m＞0，我们可将函数的定义域分成若干个区间，分别在每个区间上讨论导函数的符号，即可得到函数的单调区间和极值．
（2）根据复合函数的单调性质，得到关于m的不等式，解得即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=-

1

3

x³+x²+（m²-1）x，（x∈R），
∴f′（x）=-x²+2x+m²-1．
令f′（x）=0，解得x=1-m，或x=1+m．
因为m＞0，所以1+m＞1-m．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，1-m）	1-m	（1-m，1+m）	1+m	（1+m，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↓	极小值	↑	极大值	↓

所以f（x）在（-∞，1-m），（1+m，+∞）内是减函数，在（1-m，1+m）内是增函数．
f（x）在x=1-m处取极小值f（1-m）=-

2

3

m³+m²-

1

3

．
f（x）在x=1+m处取极大值f（1+m）=

2

3

m³+m²-

1

3

．
（2）由（1）知函数f（x）在（1-m，1+m）上单调递增，
∵y=sinx在x∈[0，

π

2

]上单调递增，又y=f（sinx）在x∈[0，

π

2

]上单调递增，
∴

1-m≥0 1+m≤ π 2 1-m＜1+m

，
解得0＜m≤

π

2

-1，
故m的取值范围为（0，

π

2

-1]

点评：本题主要考查了导数与函数的单调性和函数的极值的关系，以及复合函数的单调性和不等式的解法，属于中档题．