Question

己知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log_a（x+1）（其中a＞0且a≠1）
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）当x为何值时，f（x）的值的小于0？

Answer 1

分析：（1）由y=f（x）是定义在R上的奇函数，知当x＜0时，f（x）=-f（-x）=-log_a（-x+1），由此能求出f（x）．
（2）要使f（x）的值的小于0，则当a＞1时，

x＞0 loga(x+1)＜0

或

x＜0 -loga(-x+1)＜0

；当0＜a＜1时，

x＞0 loga(x+1)＜0

或

x＜0 -loga(-x+1)＜0

，由此能求出结果．

解答：解：（1）因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，
当x＜0时，f（x）=-f（-x）=-log_a（-x+1），
所以f（x）=

loga(x+1)，x＞0 0，x=0 -loga(-x+1)，x＜0

，
（2）要使f（x）的值的小于0，则
（i）当a＞1时，

x＞0 loga(x+1)＜0

或

x＜0 -loga(-x+1)＜0

，
解得x＜0，即x∈（-∞，0）；
（ii）当0＜a＜1时，

x＞0 loga(x+1)＜0

或

x＜0 -loga(-x+1)＜0

，
解得x＞0，即x∈（0，+∞）．

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查函数值小于0时x的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．