Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，满足f(-

3

2

+x)=f(

3

2

+x)．当x∈(0，

3

2

)时，f（x）=ln（x²-x+1），则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（　　）

A．3

B．5

C．7

D．9

Answer 1

分析：根据f（x）是定义在R上的奇函数，满足f(-

3

2

+x)=f(

3

2

+x)，可以推出函数的周期为3，要求方程f（x）=0在区间[0，6]上的解的个数，根据函数f（x）是定义域为R的周期为3的奇函数，且当x∈（0，1.5）时f（x）=ln（x²-x+1），我们不难得到一个周期函数零点的个数，根据周期性进行分析不难得到结论．

解答：解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，满足f(-

3

2

+x)=f(

3

2

+x)．
∴f（x+

3

2

+

3

2

）=f（-

3

2

+x+

3

2

），可得f（x+3）=f（x），
函数f（x）的周期为3，
∵当x∈（0，1.5）时f（x）=ln（x²-x+1），
令f（x）=0，则x²-x+1=1，解得x=1
又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，
∴在区间∈[-1.5，1.5]上，
f（-1）=-f（1）=0，f（0）=0．
∴f（1.5）=f（-1.5+3）=f（-1.5）=-f（-1.5），
∴f（-1）=f（1）=f（0）=f（1.5）=f（-1.5）=0
又∵函数f（x）是周期为3的周期函数，
则方程f（x）=0在区间[0，6]上的解有0，1，1.5，2，3，4，4.5，5，6，
共9个，
故选D；

点评：若奇函数经过原点，则必有f（0）=0，这个关系式大大简化了解题过程，要注意在解题中使用．如果本题所给区间为开区间，则答案为7个，若区间为半开半闭区间，则答案为8个，故要注意对端点的分析，属于中档题．