Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中点．
（1）判定AC与平面B₁DE的位置关系，并证明；
（2）求证：平面B₁DE⊥平面B₁BD；
（3）求二面角B-B₁E-D的大小．

Answer 1

分析：（1）先判断出结论，线与面平行，再作辅助线证明线面平行，由线面平行的判定定理知，须先证线线平行，由图形知延长B₁E交BC的延长线于M，证明CM∥AD即可
（2）证明面面垂直要用面面垂直的判定理，由题意知可证明DM⊥平面BDB₁及DM?平面B₁DE证明平面B₁DE⊥平面B₁BD；
（3）求二面角平面角，要先作角，证角，再求角，由图形知作BH⊥B₁D于H，由（2）知BH⊥平面B₁DE，作OH⊥B₁E于O，连接BO，则BO⊥B₁E，由此得∠BOH为二面角B-B₁E-D的平面角．

解答：解：（1）线与面是平行的关系，证明如下：
延长B₁E交BC的延长线于M，
∵E为CC₁的中点，
∴Rt△ECM≌Rt△EC₁B₁．
∴CM=B₁C₁=AD．又CM∥AD，
∴ACMD为平行四边形．
∴AC∥DM．
又AC平面B₁DE，DM?平面B₁DE，
∴AC∥平面B₁DE．（5分）
（2）证明：∵BB₁⊥平面ABCD，
∴BB₁⊥AC．
又ABCD为正方形，
∴BD⊥AC．
∴AC⊥平面BDB₁．
∵DM∥AC，
∴DM⊥平面BDB₁．
又DM?平面B₁DE，
∴平面B₁DE⊥平面B₁BD．（10分）
（3）解：作BH⊥B₁D于H，由（2）知BH⊥平面B₁DE，作OH⊥B₁E于O，连接BO，则BO⊥B₁E，
∴∠BOH为二面角B-B₁E-D的平面角．
在Rt△B₁BD中，BH=

BD•BB1

B1D

=

2

3

，连接BE，则BO是等腰△BB₁E的腰B₁E上的高，
∴BO=

BB1•CB

5 2 B1B

=

2

5

．
在Rt△BHO中，sin∠BOH=

BH

BO

=

30

6

，
∴二面角B₁-BE-D的大小为arcsin

30

6

．（14分）

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，面面垂直的证明以及二面角的度量等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于难度较高的题，本题解题的关键是找出二面角的平面角，放在一个可解的三角形中解出结果．