Question

(本小题满分12分)
如图（1）是一正方体的表面展开图，和是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将和画出来，并就这个正方体解决下面问题.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：⊥平面；
（Ⅲ）求二面角的大小．

Answer 1

解：MN、PB的位置如右图示. ……………………………………………………（2分）
（Ⅰ）∵ND//MB且ND=MB，∴四边形NDBM为平行四边形.
∴MN//DB.
∵BD平面PBD，MN，∴MN//平面PBD.（5分）
（Ⅱ）∵QC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，∴BD⊥QC.
又∵BD⊥AC，∴BD⊥平面AQC.
∵AQ面AQC，∴AQ⊥BD.
同理可得AQ⊥PB.
∵BDPD=B，∴AQ⊥面PDB. …………………………（8分）
（Ⅲ）解法1：分别取DB、MN中点E、F，连结PE、EF、PF.
∵在正方体中，PB=PD，∴PE⊥DB.
∵四边形NDBM为矩形，∴EF⊥DB.
∴∠PEF为二面角P—DB—M为平面角.
∵EF⊥平面PMN，∴EF⊥PF.
设正方体的棱长为a，则在直角三角形EFP中，
∵，∴.
.…………………………（12分）
解法2：设正方体的棱长为a，以D为坐标原点建立空间直
角坐标系如图.
则点A（a,0，0），P（a,0,a），Q（0,a,a）.
∴.
∵PQ⊥面DBM，由（2）知AQ⊥面PDB.
∴分别为平面PDB、平面DBM的法向量.
∴.
∴.…………………………（12分）

略