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    在一个特定时段内，以点E为中心的7n mile以内海域被设为警戒水域.点E正北55n mile处有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40 n mile的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东 (其中，)且与点A相距10n mile的位置C．

    （I）求该船的行驶速度（单位：n mile /h）;

    （II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.

     

    【答案】

    （I）船的行驶速度为（海里/小时）.（II）船会进入警戒水域.

    【解析】

    试题分析：(I)根据同角三角函数的基本关系式求出,然后利用余弦定理求出BC的值，从而可求出船的行驶速度.

    (II)判断船是否会进入警戒水域，关键是看点E到直线l的距离与半径7的关系，因而可求出直线l的方程，以及E点坐标，然后再根据点到直线的距离公式得到结论.

    （I）如图，AB=40，AC=10，

    由于,所以cos=

    由余弦定理得BC=

    所以船的行驶速度为（海里/小时）.

    （II）解法一   如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，

    设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）,

    BC与x轴的交点为D.

    由题设有，x1=y1= AB=40,

    x2=ACcos,

    y2=ACsin

    所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.

    又点E（0，-55）到直线l的距离d=

    所以船会进入警戒水域.

    解法二:  如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.

    在△ABC中，由余弦定理得，

    ==.

    从而

    在中，由正弦定理得，AQ=

    由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.

    过点E作EP BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.

    在Rt中，PE=QE·sin

    =所以船会进入警戒水域.

    考点：正余弦定理在解三角形当中的应用，直线方程，点到直线的距离，直线与圆的位置关系.

    点评：掌握正余弦定理及能解决的三角形类型是解三角形的前提.第（II）问关键是知道如何判断船是否会进入警戒水域,实质是直线与圆的位置关系的判断.

     

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    		2
    海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ=
    		26
    26
    ，0°＜θ＜90°）且与点A相距10
    		13
    海里的位置C．
    （I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
    （II）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．

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    		2
    海里的位置B，经过80分钟又测得该船已行驶到点A正东方向且与点A相距20海里的位置C．
    （I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
    （II）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图所示，在一个特定时段内，以点E为中心的10海里以内海域被设为警戒水域．点E正北40
    		3
    海里处有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东30°且与点A相距100海里的位置B，经过2小时又测得该船已行驶到点A北偏东60°且与点A相距20
    		3
    海里的位置C．
    （1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）； 
    （2）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．

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    科目：高中数学 来源：2015届湖南省高一上学期期末考试数学试卷（解析版） 题型：解答题

    (本小题满分14分）

    如图所示，在一个特定时段内，以点E为中心的10海里以内海域被设为警戒水域.点E正北40海里处有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东30°且与点A相距100海里的位置B，经过2小时又测得该船已行驶到点A北偏东60°且与点A相距20海里的位置C.

    （1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;

    （2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.

     

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年陕西省高三第三次月考理科数学（普通班）（解析版） 题型：解答题

    在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C.

    　　(1)求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;

    　　(2)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.

     

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