Question

15．若定义在R上的函数f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+a}$的图象的最高点为P（m，n）．
（1）若m＜1，n＜1，求a的取值范围；
（2）若对任意的x，y∈R，都有|f（x）-f（y）|＜1，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a＞0，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{a}＜1}\\{2\sqrt{a}＞1}\end{array}\right.$，从而解得．
（2）易知函数f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+a}$是R上的奇函数，从而可得0＜2n＜1，从而解得．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+a}$的定义域为R，
∴a＞0，
f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+a}$=$\frac{1}{x+\frac{a}{x}}$，
故当x=$\sqrt{a}$时，f（x）有最大值；
故$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{a}＜1}\\{2\sqrt{a}＞1}\end{array}\right.$，
故$\frac{1}{4}$＜a＜1；
（2）易知函数f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+a}$是R上的奇函数，
又∵对任意的x，y∈R，都有|f（x）-f（y）|＜1，
∴0＜2n＜1，
∴0＜$\frac{m}{{m}^{2}+{m}^{2}}$＜$\frac{1}{2}$，
即0＜$\frac{1}{2m}$＜$\frac{1}{2}$，
故m＞1．

点评 本题考查了反比例函数的应用及函数的性质的判断与应用，同时考查了函数的最值的应用．