Question

4．已知f（log₂x）=ax²-2x+1-a，a∈R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）解关于x的方程f（x）=（a-1）•4^x
（3）设h（x）=2^-xf（x），a＞1时，对任意x₁，x₂∈[-1，1]总有|h（x₁）-h（x₂）|≤$\frac{4a+1}{2}$成立求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令log₂x=t即x=2^t，从而求出f（t）的解析式，最后将t用x替换即可求出所求；
（2）将f（x）=（a-1）•4^x进行配方得（2^x-1）²=a，讨论a可得方程的解的情况；
（3）将“对任意x₁，x₂∈[-1，1]总有|h（x₁）-h（x₂）|≤$\frac{4a+1}{2}$成立”转化成“当x∈[-1，1]时，h（x）_max-h（x）_min≤$\frac{4a+1}{2}$恒成立”讨论研究函数h（x）的最值，从而求出a的取值范围．

解答 解：（1）令log₂x=t即x=2^t，则f（t）=a•（2^t）²-2•2^t+1-a，
即f（x）=a•2^2x-2•2^x+1-a，x∈R，
（2）由f（x）=（a-1）•4^x化简得：2^2x-2•2^x+1-a=0，
即（2^x-1）²=a，
当a＜0时，方程无解；
当a≥0时，解得2^x=1±$\sqrt{a}$，
若0≤a＜1，则x=log₂（1±$\sqrt{a}$），
若a≥1，则x=log₂（1+$\sqrt{a}$）；
（3）对任意x₁，x₂∈[-1，1]总有|h（x₁）-h（x₂）|≤$\frac{4a+1}{2}$成立”
转化成“当x∈[-1，1]时，h（x）_max-h（x）_min≤$\frac{4a+1}{2}$恒成立”，
设h（x）=2^-xf（x）=a•2^x+$\frac{1-a}{{2}^{x}}$-2，
令2^x=t，则g（t）=at+$\frac{1-a}{t}$-2，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
当a＞1时，g（t）在[$\frac{1}{2}$，2]单调递增，
此时g（t）_max=g（2）=$\frac{3（a-1）}{2}$，g（t）_min=g（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{3a}{2}$，
g（t）_max-g（t）_min=$\frac{6a-3}{2}$，
由$\frac{6a-3}{2}$≤$\frac{4a+1}{2}$，解得1＜a≤2．
则a的取值范围是（1，2]．

点评 本题是一道综合题，主要考查了函数的解析式，解指数方程，以及函数恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题．