Question

5．在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°，且A（3，1），B（1，0）
（Ⅰ）求点C的坐标；
（Ⅱ）设O为坐标原点，（$\overrightarrow{AB}$-m$\overrightarrow{OC}$）∥$\overrightarrow{BC}$，且$\overrightarrow{OD}$=m$\overrightarrow{OC}$（m∈R），求|$\overrightarrow{OD}$|．

Answer 1

分析 （1）根据∠A是直角，得$|\overrightarrow{CA}|=|\overrightarrow{BA}|$，$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{BA}=0$，即可求出A的坐标；
（2）根据向量的共线与向量的相等即可求解．

解答 解：（1）设C（x，y），
∴$\overrightarrow{CA}=（3-x，1-y）$，$\overrightarrow{BA}=（2，1）$，
又由于△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°，
∴$\left\{\begin{array}{l}{|\overrightarrow{CA}|=|\overrightarrow{BA}|}\\{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{BA}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{（3-x）^{2}+（2x-6）^{2}=5}\\{2（3-x）+1-y=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
所以C（2，3）或（4，-1）；
（2）当C（2，3）时，
又∵A（3，1），B（1，0），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-2，-1），$\overrightarrow{OC}$=（2，3），$\overrightarrow{BC}$=（1，3），
$\overrightarrow{AB}-m\overrightarrow{OC}$=（-2-2m，-1-3m），
∵$（\overrightarrow{AB}-m\overrightarrow{0C}）∥\overrightarrow{BC}$，
∴1×（-1-3m）=3×（-2-2m），
解得：m=-$\frac{5}{3}$，
又$\overrightarrow{OD}=m\overrightarrow{OC}$，
∴$|\overrightarrow{0D}|=\frac{5}{3}|\overrightarrow{OC}|$=$\frac{5}{3}\sqrt{13}$；
当C（4，-1）时，同理可求得：$|\overrightarrow{OD}|$=5$\sqrt{17}$，
故$|\overrightarrow{OD}|=\frac{5}{3}\sqrt{13}或5\sqrt{17}$．

点评 本题主要考查向量的垂直，向量的共线，向量的相等等，属于基础题．