【题目】如图,在四棱锥中,底面为正方形,侧棱底面,为棱的中点,.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ);(Ⅲ).
【解析】
(Ⅰ)由线面垂直的性质可得,由正方形的性质可得 ,由线面垂直的判定定理可得平面,从而可得结果;(Ⅱ)正方形中,侧棱底面,以为轴建立坐标系,求出,利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的法向量,由空间向量夹角余弦公式可得结果;(Ⅲ)由(Ⅰ)知平面,则 为平面的法向量,结合(Ⅱ),由空间向量夹角余弦公式可得结果.
(Ⅰ)因为底面底面 ,
所以,正方形中, ,
又因为, 所以平面,
因为平面,所以.
(Ⅱ)正方形中,侧棱底面.
如图建立空间直角坐标系,不妨设.
依题意,则,所以 .
设平面的法向量,
因为,所以,
令,得 ,即,
所以,
所以直线与平面所成角的正弦值为 ;
(Ⅲ)由(Ⅰ)知平面,所以 为平面的法向量,
因为, 且二面角为锐角,
所以二面角的余弦值为 .
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【题目】判断下列四个命题:①直线在平面内,又在平面内,则、重合;②直线、相交,直线、相交,直线、相交,则直线、、共面;③线、共面,直线、共面,则直线、也共面;④线不在平面内,则直线与平面内任何一点都可唯一确定一个平面;其中假命题是______.(写出所有假命题的序号)
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【题目】某幼儿园举办“yue”主题系列活动——“悦”动越健康亲子运动打卡活动,为了解小朋友坚持打卡的情况,对该幼儿园所有小朋友进行了调查,调查结果如下表:
打卡天数 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
男生人数 | 3 | 5 | 3 | 7 | 2 |
女生人数 | 3 | 5 | 5 | 7 | 3 |
(1)根据上表数据,求该幼儿园男生平均打卡的天数;
(2)若从打卡21天的小朋友中任选2人交流心得,求选到男生和女生各1人的概率.
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【题目】数列满足,,为非零常数.
(1)是否存在实数,使得数列成为等差数列或等比数列,若存在,找出所有的,及对应的通项公式;若不存在,说明理由;
(2)当时,记,证明:数列是等比数列;
(3)求数列的通项公式.
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【题目】在如图所示的几何体中,面CDEF为正方形,面ABCD为等腰梯形,,,,.
(1)求证:平面FBC;
(2)线段ED上是否存在点Q,使平面平面QBC?证明你的结论.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程为,直线,直线 .以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系.
(1)求直线,的直角坐标方程以及曲线的参数方程;
(2)已知直线与曲线交于两点,直线与曲线交于两点,求的面积.
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