Question

16．设f（x）=2（log₂x）²+2alog₂$\frac{1}{x}$+b，已知x=$\frac{1}{2}$时，f（x）有最小值-8，
（1）求a与b的值；
（2）求满足f（x）＞0的x的集合A．

Answer 1

分析 （1）利用配方法，结合x=$\frac{1}{2}$时，f（x）有最小值-8，建立方程，即可求a与b的值；
（2）f（x）＞0即2（log₂x）²-4log₂x-6＞0，即可求出x的集合A．

解答 解：（1）f（x）=2（log₂x）²+2alog₂$\frac{1}{x}$+b
=2（log₂x）²-2alog₂x+b=2（log₂x-$\frac{a}{2}$）²+b-$\frac{{a}^{2}}{2}$，
∵x=$\frac{1}{2}$时，f（x）有最小值-8，
∴log₂$\frac{1}{2}$=$\frac{a}{2}$，b-$\frac{{a}^{2}}{2}$=-8，
∴a=-2，b=-6；
（2）f（x）=2（log₂x）²+4log₂x-6＞0，
∴log₂x＜-3或log₂x＞1，
∴0$＜x＜\frac{1}{8}$或x＞2，
∴A={x|0$＜x＜\frac{1}{8}$或x＞2}．

点评 本题考查函数的最值，考查学生解不等式的能力，确定函数的解析式是关键．