Question

6．二次函数f（x）=ax²+bx+c，f（x）=0的两根是1和3，且f（f（x））=0有唯一实根．
①求f（x）的解析式；
②求|f（x）|在区间[t，t+1]上的最大值；
③设②中的最大值为M（t），若k≤M（t）对任意实数t恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 ①f（x）=a（x-1）（x-3），f（f（x））=0有唯一实根，可得f（x）=1或f（x）=3为函数的极值点，即可求出求f（x）的解析式；
②分类讨论，即可求出|f（x）|在区间[t，t+1]上的最大值；
③设②中的最大值为M（t），求出M（t）的最小值，即可求k的取值范围．

解答 解：①f（x）=ax²+bx+c，f（x）=0的两根是1和3，则1+3=-$\frac{b}{a}$，1×3=$\frac{c}{a}$，
∴b=-4a，c=3a，
∴f（x）=a（x-1）（x-3），
f（f（x））=0有唯一实根，可得f（x）=1或f（x）=3为函数的极值点，
a＞0，则f（x）_min=3，∴f（2）=-a=3，∴a=-3，矛盾；
a＜0，则f（x）_min=1，∴f（2）=-a=1，∴a=-1，
∴f（x）的解析式为f（x）=-（x-1）（x-3）；
②|f（x）|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+3，x＜1或x＞3}\\{-{x}^{2}+4x-3，1≤x≤3}\end{array}\right.$
在区间[t，t+1]上的最大值=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-4t+3，t≤\frac{3-\sqrt{3}}{2}}\\{-{t}^{2}+2t，\frac{3-\sqrt{3}}{2}＜t＜1}\\{1，1≤t≤2}\\{-{t}^{2}+4t-3，2＜t＜\frac{3+\sqrt{3}}{2}}\\{{t}^{2}-2t，t≥\frac{3+\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$；
③②中的最大值为M（t）的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，若k≤M（t）对任意实数t恒成立，k的取值范围是（-∞，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

点评 本题考查函数的零点，解析式的确定，考查函数的最大值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．