Question

已知函数f(x)=cos x(sin x+cos x)-.

(1)若0<α<,且sin α=,求f(α)的值;

(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.

Answer 1

解:法一　(1)因为0<α<,sin α=,

所以cos α=.

所以f(α)=(+)-=.

(2)因为f(x)=sin xcos x+cos²x-

=sin 2x+-

=sin 2x+cos 2x

=sin(2x+),

所以T==π.

由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,

得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.

所以f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z.

法二　f(x)=sin xcos x+cos²x-

=sin 2x+-

=sin 2x+cos 2x

=sin(2x+).

(1)因为0<α<,sin α=,

所以α=,

从而f(α)=sin(2α+)=sin =.

(2)T==π.

由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,

得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.

所以f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z.