Question

（2009•孝感模拟）已知向量

a

=（

3

cos x，0），

b

=（0，sin x），记函数f（x）=（

a

+

b

）²+

3

sin 2x，
（1）求函数f（x）的最小值及取最小值x的集合；
（2）若将函数f（x）的图象按向量

d

平移后，得到的图象关于坐标原点中心对称且在[0，

π

4

]上单调递减，求长度最小的

d

．

Answer 1

分析：（1）根据平面向量数量积的运算，化简f（x）=2cos（2x-

π

3

）+2，再根据三角函数性质求解．
（2）设

d

=（m，n），先求出函数f（x） 的图象平移后对应的函数g（x），根据中心对称性求出m，n的值或表达式．再结合条件要求确定长度最小的

d

．

解答：解：（1）∵f（x）=（

a

+

b

）²+

3

sin 2x=3cos²x+sin²x+

3

sin2x=2cos（2x-

π

3

）+2       …（3分）
∴f（x）≥0，当且仅当2x-

π

3

=2kπ+π，即x=kπ+

2π

3

，k∈Z时取到等号．
∴函数f（x）的最小值是0，此时x的集合是{x|x=kπ+

2π

3

，k∈Z}         …（6分）
（2）设

d

=（m，n），函数f（x） 的图象平移后对应的函数为g（x），则g（x）=2cos[2（x-m）-

π

3

]+2+n
由题意函数g（x）的图象关于坐标原点中心对称，得
cos[2（0-m）-

π

3

]=0，且2+n=0，解得m=

1

2

kπ+

π

12

，k∈Z，且n=-2             …（8分）
①当m=kπ+

π

12

，k∈Z时，g（x）=2cos（2x-

π

2

）=2sin 2x，在[0，

π

4

]上单调递增，不符合题意，舍去；
②当m=kπ+

7π

12

，k∈Z时，g（x）=2cos（2x+

π

2

）=-2sin 2x，在[0，

π

4

]上单调递减，符合题意．…（10分）
∴

d

=（ kπ+

7π

12

，-2），k∈Z【若求出的结果是（kπ+

π

12

，-2），给（10分）】
∴长度最小的

d

=（-

5π

12

，-2）…（12分）

点评：本题考查平面向量数量积的运算，三角函数性质，考查分析解决问题、分类讨论、计算能力．