Question

已知函数f（x）=log₃（9^x+1）+kx，（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若函数g（x）=f（x）-log₃m存在零点，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）因为y=f（x）为偶函数，所以?x∈R，f（-x）=f（x），
即log₃（9^-x+1）-kx=log₃（9^x+1）+kx对于?x∈R恒成立．
即2kx=log₃（9^-x+1）-log₃（9^x+1）=-2x恒成立
即（2k+2）x=0恒成立，
而x不恒为零，所以k=-1；
（2）函数g（x）=f（x）-log₃m=log₃（9^x+1）-x-log₃m
令log₃（9^x+1）-x-log₃m=0，则方程log₃-x=0有实根
等价于3^2x-m•3^x+1=0有实根
令3^x=t，则t²-mt+1=0，且t＞0．
由韦达定理，两根同号．由t＞0可知，两根都大于0
所以可得不等式组，解得：m≥2
分析：（1）因为f（x）为偶函数，所以f（-x）=f（x）代入，求得k的值即可；
（2）函数g（x）=f（x）-log₃m存在零点，可转化为方程log₃-x=0有实根，由此可求m的取值范围．
点评：本题重点考查函数的性质，考查函数与方程的关系，解题的关键是正确运用偶函数的定义，合理将问题进行等价转化．