Question

设f（x）=

ax

x+a

（a≠0），令a₁=1，a_n+1=f（a_n），又令b_n=a_na_n+1，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项的和．

Answer 1

分析：（1）根据题设条件，先求出a₁，a₂，a₃，a₄，然后观察它们的规律，猜想出a_n，再用数学归纳法进行证明．
（2）由b_n=a_na_n+1=

a

a+n-1

•

a

a+n

=a2(

1

a+n-1

-

1

a+n

)，可用裂项法进行求和．

解答：解：（1）a₁=1，a2=f(1)=

a

1+a

，a3=f(

a

a+1

) =

a× a a+1

a a+1 +a

=

a

a+2

，a4=f(

a

a+2

) =

a× a a+2

a a+2 +a

=

a

a+3

，由此猜想an=

a

a+n-1

．下面用数学归纳法证明这个猜想．
①当n=1时，a1=

a

a+1-1

=1，等式成立．
②假设当n=k时，等式成立．即ak=

a

a+k-1

．
当n=k+1时，ak+1=f(ak) =

a× a a+k-1

a a+k-1 +a

=

a

a+k

，等式成立．由①②知an=

a

a+n-1

．
（2）∵b_n=a_na_n+1=

a

a+n-1

•

a

a+n

=a2(

1

a+n-1

-

1

a+n

)，
数列{b_n}的前n项的和=b₁+b₂+…+b_n=a2(

1

a

-

1

a+1

) +a2(

1

a+1

-

1

a+2

) +…+a2(

1

a+n-1

-

1

a+n

)
=a2(

1

a

-

1

a+n

)．

点评：本题考查数列通项公式的求法和数列求和，解题时要注意数学归纳法和裂项求和法的应用．