Question

5．直角三角形ABC的三边分别为a，b，c，∠C=90°，当n∈N^*，且n≥2时，aⁿ+bⁿ与cⁿ的大小关系为（　　）

• A． aⁿ+bⁿ＞cⁿ
• B． aⁿ+bⁿ＜cⁿ
• C． aⁿ+bⁿ≥cⁿ
• D． aⁿ+bⁿ≤cⁿ

Answer 1

分析 直角三角形ABC的三边分别为a，b，c，∠C=90°，利用勾股定理可得：当n=2时，a²+b²=c²．当n＞2（n∈N^*）时，利用指数函数的单调性可得$（\frac{a}{c}）^{n}+（\frac{b}{c}）^{n}$＜$（\frac{a}{c}）^{2}+（\frac{b}{c}）^{2}$，即可得出．

解答 解：∵直角三角形ABC的三边分别为a，b，c，∠C=90°，
∴当n=2时，a²+b²=c²．
当n＞2（n∈N^*）时，$（\frac{a}{c}）^{n}+（\frac{b}{c}）^{n}$＜$（\frac{a}{c}）^{2}+（\frac{b}{c}）^{2}$=1，
综上可得：n≥2时，aⁿ+bⁿ≤cⁿ．
故选：D．

点评 本题考查了勾股定理、指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．