精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)求证:EF⊥CD;
(3)设PD=AD=a,求三棱锥B-EFC的体积.
分析:(Ⅰ)由题意容易证明EF∥AP.由线面平行的判定定理可证
(Ⅱ)由(I)知EF∥AP,要证EF⊥CD,只要证明CD⊥PA.,结合已知,可证CD⊥平面PAD,即可
(Ⅲ)利用等体积,把所求的体积VB-EFC=VF-EBC,可求
解答:(Ⅰ)证明:∵E,F分别是AB,PB的中点,
∴EF∥AP.
又∵EF?平面PAD,AP?平面PAD,
∴EF∥平面PAD.                  (4分)
(Ⅱ)证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴AD⊥CD.
又∵PD⊥平面ABCD,
∴PD⊥CD,且AD∩PD=D.
∴CD⊥平面PAD,
又∵PA?平面PAD,
∴CD⊥PA.
又∵EF∥PA,
∴EF⊥CD.    (8分)
(Ⅲ)解:连接AC,DB相交于O,连接OF,则OF⊥面ABCD,
则OF为三棱锥F-EBC的高,OF=
1
2
PD
=
1
2
a
,S△EBC=
1
2
EB•BC=
1
2
×
1
2
a×a=
a2
4

VB-EFC=VF-EBC=
1
3
S△EBC•OF=
1
3
1
2
•a•
a
2
a
2
=
1
24
a2
.(12分)
点评:本题主要考查了线面平行、线面垂直的判定定理的应用,线面关系与面面关系的相互转化,利用等体积求解求解三棱锥的体积的综合应用.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
(1)证明AD⊥PB;
(2)求二面角P-BD-A的正切值大小.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,AB=4,PA=3,点A在PD上的射影为点G,点E在AB上,平面PEC⊥平面PDC.
(1)求证:AG∥平面PEC;
(2)求AE的长;
(3)求二面角E-PC-A的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠BCD=120°,BC⊥AB,CD⊥AD,BC=CD=PA=a,
(Ⅰ)求证:平面PBD⊥平面PAC.
(Ⅱ)求四棱锥P-ABCD的体积V.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的菱形,∠ABC=60°PD⊥面ABCD,PC=a,E为PB中点
(1)求证;平面ACE⊥面ABCD;
(2)求三棱锥P-EDC的体积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2008•武汉模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD,且∠BAD=90°,又PA⊥底面ABCD,BC=AB=PA=1,AD=2.
(1)求二面角P-CD-A的平面角正切值,
(2)求A到面PCD的距离.

查看答案和解析>>

同步练习册答案