Question

已知y=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0）的图象过点P（

π

12

，0）图象上与点P最近的一个顶点是Q（

π

3

，5）．
（1）求函数的解析式；
（2）指出函数的增区间；
（3）求使y≤0的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用题意在求出A，通过周期求出ω，利用函数经过的特殊点求出φ，即可求函数的解析式；
（2）通过正弦函数的单调增区间直接函数的增区间；
（3）利用正弦函数的值域，求使y≤0的x的取值范围．

解答：解：（1）由函数图象过一个顶点是（

π

3

，5）知A=5．
图象过点P（

π

12

，0）图象上与点P最近的一个顶点是Q（

π

3

，5）．
所以

T

4

=

π

3

-

π

12

=

π

4

，∴T=π，ω=2．
将Q（

π

3

，5）代入y=5sin（2x+φ）得φ=-

π

6

．
∴函数解析式为y=5sin（2x-

π

6

）．                    （4分）
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

．
得增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]．k∈Z． 
 函数的增区间：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]．k∈Z．        （8分）
（3）因为y≤0
所以5sin（2x-

π

6

）≤0     
可得 2kπ+π≤2x-

π

6

≤2kπ+2π．
x∈[kπ+

7π

12

，kπ+

13

12

π]．k∈Z．                         （12分）

点评：本题考查三角函数的解析式的求法，三角函数的基本性质的应用，考查计算能力．