Question

18．如图所示，在直三棱柱ABC-A'B'C'中，AC⊥BC，BC=BB'=2，AC=4，点M是线段AB'的中点，则三棱锥M-ABC的外接球的体积是（　　）

• A． 36π
• B． $\frac{{20\sqrt{5}}}{3}$π
• C． $\sqrt{6}$π
• D． $\frac{4}{3}$π

Answer 1

分析 取AB的中点D，连接MD，则D为△ABC外接圆的圆心，三棱锥M-ABC的外接球的球心O在MD上，利用勾股定理求出三棱锥即可求出M-ABC的外接球的半径，三棱锥M-ABC的外接球的体积．

解答 解：取AB的中点D，连接MD，则D为△ABC外接圆的圆心，三棱锥M-ABC的外接球的球心O在MD上，
设三棱锥M-ABC的外接球的半径为R，则
由题意，AB=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，CD=$\sqrt{5}$，
由勾股定理可得，R²=（$\sqrt{5}$）²+（R-1）²，
∴R=3，
∴三棱锥M-ABC的外接球的体积是$\frac{4}{3}$πR³=36π．
故选：A．

点评 本题考查三棱锥M-ABC的外接球的体积，考查学生的计算能力，正确求出三棱锥M-ABC的外接球的半径是关键．