Question

10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$\sqrt{3}$bcosC+csinB=$\sqrt{3}$a．
（1）求角B的大小；
（2）若函数f（x）=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx，x∈R，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinCsinB=$\sqrt{3}$cosBsinC，又sinC≠0，可得：tanB=$\sqrt{3}$，结合范围B∈（0，π），可得B的值．
（2）利用三角函数恒等变换的应用可得f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，又A∈（0，$\frac{2π}{3}$），可求2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{3π}{2}$），利用正弦函数的图象和性质即可得解sin（2A+$\frac{π}{6}$）的范围，进而可求f（A）的取值范围．

解答 解：（1）∵$\sqrt{3}$bcosC+csinB=$\sqrt{3}$a，
∴由正弦定理可得：$\sqrt{3}$sinBcosC+sinCsinB=$\sqrt{3}$sinA，
∴$\sqrt{3}$sinBcosC+sinCsinB=$\sqrt{3}$sin（B+C）=$\sqrt{3}$sinBcosC+$\sqrt{3}$cosBsinC，
∴sinCsinB=$\sqrt{3}$cosBsinC，
∵C为三角形内角，sinC≠0，
∴可得：tanB=$\sqrt{3}$，
∴由B∈（0，π），可得：B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵f（x）=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx=$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，$\frac{2π}{3}$），2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{3π}{2}$），
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）∈（-1，1]，
∴f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．