Question

15．求下列双曲线的标准方程．
（1）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有公共焦点，且过点（3$\sqrt{2}$，2）的双曲线；
（2）以椭圆3x²+13y²=39的焦点为焦点，以直线y=±$\frac{x}{2}$为渐近线的双曲线．

Answer 1

分析 （1）求得双曲线的焦点，可设所求双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{20-{a}^{2}}$=1（20-a²＞0），将点（3$\sqrt{2}$，2）代入双曲线方程，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．
（2）利用椭圆的方程求出双曲线的焦点坐标，设$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），根据双曲线的渐近线为y=±$\frac{1}{2}$x求出a²，可得答案．

解答 解：（1）∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的焦点为（±2$\sqrt{5}$，0），
∴设所求双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{20-{a}^{2}}$=1（20-a²＞0）
又点（3$\sqrt{2}$，2）在双曲线上，
∴$\frac{18}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{20-{a}^{2}}$=1，解得a²=12或30（舍去），
∴所求双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{12}-\frac{{y}^{2}}{8}$=1．
（2）椭圆3x²+13y²=39可化为$\frac{{x}^{2}}{13}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
其焦点坐标为（±$\sqrt{10}$，0），∴所求双曲线的焦点为（±$\sqrt{10}$，0），
设双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）∵双曲线的渐近线为y=±$\frac{1}{2}$x，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{10-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，∴a²=8，b²=2，
即所求的双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{2}$=1．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，考查椭圆的性质，注意运用待定系数法，点满足方程，考查运算能力，属于基础题．