Question

20．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{2}$，C与l有且只有一个公共点，求a．

Answer 1

分析 把极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的充要条件即可得出．

解答 解：曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），即ρ²=2aρcosθ（a＞0），∴x²+y²=2ax，配方可得：C的直角坐标方程为（x-a）²+y²=a²．
直线l：ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{2}$，展开为$\frac{1}{2}ρcosθ$+$\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ$=$\frac{3}{2}$，可得直角坐标方程：$x+\sqrt{3}y-3=0$．
由直线与圆相切可得：$\frac{\left|a-3\right|}{2}=a$，a＞0．
解得：a=1．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．