Question

10．设a，b，c，d都是正数，求证：（ab+cd）（ac+bd）≥4abcd．

Answer 1

分析 由a，b，c，d都是正数，运用二元均值不等式，可得ab+cd≥2$\sqrt{abcd}$，ac+bd≥2$\sqrt{abcd}$，相乘即可得证．

解答 证明：a，b，c，d都是正数，
可得ab+cd≥2$\sqrt{abcd}$，
ac+bd≥2$\sqrt{abcd}$，
当且仅当ab=cd，且ac=bd，
即a=d，b=c取得等号．
即有（ab+cd）（ac+bd）≥4abcd．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用二元均值不等式和不等式的性质，考查推理能力，属于基础题．