Question

2．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f'（x），对定义域内的任意x，都有2f（x）+xf'（x）＜2成立，则使得x²f（x）-4f（2）＜x²-4成立的x的范围为（　　）

• A． {x|x≠±2}
• B． （-2，2）
• C． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• D． （-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

分析 根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，进行求解即可．

解答 解：当x＞0时，由2f（x）+xf'（x）＜2得2f（x）+xf′（x）-2＜0可知：两边同乘以x得：
2xf（x）-x²f′（x）-2x＜0
设g（x）=x²f（x）-x²
则g′（x）=2xf（x）+x²f′（x）-2x＜0，恒成立：
∴g（x）在（0，+∞）单调递减，
由x²f（x）-4f（2）＜x²-4
∴x²f（x）-x²＜4f（2）-4
即g（x）＜g（2），
∵f（x）是偶函数，
∴g（x）=x²f（x）-x²也是偶函数，
则不等式g（x）＜g（2）等价为g（|x|）＜g（2），
即|x|＞2；
则x＞2或x＜-2，即实数x的取值范围为（-∞，-2）∪（2，+∞），
故选：C

点评 本题主要考查不等式的求解，主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，综合性较强，有一定的难度．