Question

13．已知n∈N^*，n＞2时，求证：1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＞$\sqrt{n+1}$．

Answer 1

分析 运用数学归纳法证明．首先验证n=3时，不等式成立；假设n=k，不等式成立，证明n=k+1，不等式也成立，注意运用分析法证明，即可得证．

解答 证明：运用数学归纳法证明．
当n=3时，不等式左边=1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$＞2，右边=2，显然成立；
假设k∈N^*，k＞2时，n=k时，1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$＞$\sqrt{k+1}$成立，
当n=k+1时，1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$＞$\sqrt{k+1}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$，
要证$\sqrt{k+1}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$＞$\sqrt{k+2}$，
即证k+2＞$\sqrt{（k+1）（k+2）}$，
平方可得k²+4k+4＞k²+3k+2，
即为k+2＞0显然成立．
即n=k+1时，不等式也成立．
综上可得，n∈N^*，n＞2时，1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＞$\sqrt{n+1}$成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用数学归纳法证明，考查运算和推理能力，属于中档题．