Question

（本小题满分12分）如图4，正三棱柱中，，、分别是侧棱、上的点，且使得折线的长最短．

（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值．

Answer 1

(Ⅰ)  略  (Ⅱ)

解析:

：（1）∵正三棱柱中，，

∴将侧面展开后，得到一个由三个正方形拼接而成的矩形（如图），

 

从而，折线的长最短，当且仅当、、、四点共线，

∴、分别是、上的三等分点，其中．……2分（注：直接正确指出点、的位置，不扣分）

连结，取中点，中点，连结、、．

由正三棱柱的性质，平面平面，

而，平面，

平面平面，∴平面．…4分

又由（1）知，，

∴四边形是平行四边形，从而．

∴平面．而平面，∴平面平面．8分

（2）（法一）由（2），同理可证，平面平面．………10分

而平面，平面平面，

∴即为在平面上的射影，

从而是直线与平面所成的角．……12分

在△中，，，

，由余弦定理，

，

即直线与平面所成角的余弦值为．…14分

（法二）取中点为原点，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）及正三棱柱的性质，可求得：

，，，．

从而，

，．…………………10分

设平面的一个法向量为，

则，所以，

即，解之，得，………………………12分

取，得，，∴从而

即直线与平面所成角的正弦值为，

∴直线与平面所成角的余弦值为． …………14分