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    如图，圆O为单位圆，A（1，0），B(
    		3
    2
    ，
    1
    2
    )    ，C(
    		2
    2
    ，
    		2
    2
    )    ，D(
    1
    2
    ，
    		3
    2
    )    ，E（0，1），F(-
    1
    2
    ，
    		3
    2
    )    为圆O上的定点，点M为圆O上的动点．M第一次由点A按逆时针方向运动到某定点，所形成的角为α；M第二次由点A按逆时针方向运动到某定点，所形成的角为β．
    （Ⅰ） 当点M第一次由点A按逆时针方向运动到定点C，第二次由点A按逆时针方向运动到定点D时，求cos（α-β）的值；
    （Ⅱ）在A、B、C、D、E、F中是否存在两个点，能使角α，β同时满足α+2β=
    3π
    2
    ，且tan
    α
    2
    tanβ=3-2
    		3
    ．若不存在，说明理由； 若存在，找出定点并证明．
    分析：（Ⅰ）根据C的坐标及C在第一象限，得到tanα的值，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，即为α的度数；同理根据D的坐标，及第二次由点A按逆时针方向运动到某定点D，得到β的度数，代入cos（α-β），把角
    π
    12
    变形为
    π
    4
    -
    π
    3
    ，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求出值；
    （Ⅱ）存在两点B和F，满足题意，理由为：由已知的α+2β的度数求出
    α
    2
    +β    的度数，然后利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简tan（
    α
    2
    +β    ），把tan
    α
    2
    tanβ    的值及
    α
    2
    +β    的度数代入，求出tan
    α
    2
    +tanβ    的值，两者联立分别求出tan
    α
    2
    和tanβ    的值，根据特殊角的三角函数值即可得到α，β的度数，进而找出对应的点．
    解答：解：（Ⅰ）当点M第一次由点A按逆时针方向运动到定点C时，所形成的角为α=
    π
    4
    ，
    第二次由点A按逆时针方向运动到定点D时，所形成的角为β=
    π
    3
    ，
    则cos（α-β）=cos
    π
    12

    =cos（
    π
    4
    -
    π
    3
    ）=cos
    π
    4
    cos
    π
    3
    +sin
    π
    4
    sin
    π
    3
    =
    		6
    +
    		2
    2
    ；
    （Ⅱ）存在，当点M第一次由点A按逆时针方向运动到定点B，
    第二次由点A按逆时针方向运动到定点F时，角α=
    π
    6
    ，β=
    2π
    3
    ，满足题意，
    理由如下：
    由α+2β=
    3π
    2
    ，得到
    α
    2
    +β=
    3π
    4
    ，
    ∵tan
    α
    2
    tanβ=3-2
    		3
    ，
    ∴tan（
    α
    2
    +β）=
    tan
    α
    2
    +tanβ
    1-tan
    α
    2
    tanβ
    =
    tan
    α
    2
    +tanβ
    1- (3-2
    		3
    )
    =-1，
    ∴tan
    α
    2
    +tanβ=2-2
    		3
    ，
    ∴tan
    α
    2
    =-
    		3
    ，tanβ=2-
    		3
    或tan
    α
    2
    =2-
    		3
    ，tanβ=-
    		3
    ，
    当
    α
    2
    =
    2π
    3
    ，β=
    π
    12
    ，不满足题意；
    当
    α
    2
    =
    π
    12
    ，即α=
    π
    6
    ，β=
    2π
    3
    时，满足题意，
    则M第一次由点A按逆时针方向运动到某定点B，
    第二次由点A按逆时针方向运动到定点F时满足题意．
    点评：此题考查了三角函数恒等式的证明，涉及的知识有两角和与差的正切、余弦函数公式，点与坐标系，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．
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    精英家教网如图，设P是单位圆和x轴正半轴的交点，M、N是单位圆上的两点，O是坐标原点，∠POM=
    π
    3
    ，∠PON=α，α∈[0，π]，f(α)=|
    OM
    +
    ON
    |    ，则f（a）的范围为
     
    ．

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    如图A，B是单位圆O上的点，且A，B分别在第一，二象限．C是圆与x轴正半轴的交点，△AOB为正三角形．若A点的坐标为（
    3
    5
    ，
    4
    5
    ）．记∠COA=α．
    （Ⅰ）求
    sin2α+sin2α
    cos2α+cos2α
    的值；
    （Ⅱ）求cos∠COB的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    [选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内．
    A．（选修4-1：几何证明选讲）
    如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长．
    B．（选修4-2：矩阵与变换）
    已知二阶矩阵A有特征值λ1=3及其对应的一个特征向量α1=
    1
    1
    ，特征值λ2=-1及其对应的一个特征向量α2=
    1
    -1
    ，求矩阵A的逆矩阵A-1．
    C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
    以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（两种坐标系中取相同的单位长度），已知点A的直角坐标为（-2，6），点B的极坐标为(4，
    π
    2
    )    ，直线l过点A且倾斜角为
    π
    4
    ，圆C以点B为圆心，4为半径，试求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．
    D．（选修4-5：不等式选讲）
    设a，b，c，d都是正数，且x=
    		a2+b2
    ，y=
    		c2+d2
    ．求证：xy≥
    		(ac+bd)(ad+bc)
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    如图，圆O为单位圆，A（1，0），数学公式，数学公式，数学公式，E（0，1），数学公式为圆O上的定点，点M为圆O上的动点．M第一次由点A按逆时针方向运动到某定点，所形成的角为α；M第二次由点A按逆时针方向运动到某定点，所形成的角为β．
    （Ⅰ） 当点M第一次由点A按逆时针方向运动到定点C，第二次由点A按逆时针方向运动到定点D时，求cos（α-β）的值；
    （Ⅱ）在A、B、C、D、E、F中是否存在两个点，能使角α，β同时满足数学公式，且数学公式．若不存在，说明理由； 若存在，找出定点并证明．

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