Question

如图，圆O为单位圆，A（1，0），，，，E（0，1），为圆O上的定点，点M为圆O上的动点．M第一次由点A按逆时针方向运动到某定点，所形成的角为α；M第二次由点A按逆时针方向运动到某定点，所形成的角为β．
（Ⅰ） 当点M第一次由点A按逆时针方向运动到定点C，第二次由点A按逆时针方向运动到定点D时，求cos（α-β）的值；
（Ⅱ）在A、B、C、D、E、F中是否存在两个点，能使角α，β同时满足，且．若不存在，说明理由； 若存在，找出定点并证明．

Answer 1

解：（Ⅰ）当点M第一次由点A按逆时针方向运动到定点C时，所形成的角为α=，
第二次由点A按逆时针方向运动到定点D时，所形成的角为β=，
则cos（α-β）=cos
=cos（-）=coscos+sinsin=；
（Ⅱ）存在，当点M第一次由点A按逆时针方向运动到定点B，
第二次由点A按逆时针方向运动到定点F时，角α=，β=，满足题意，
理由如下：
由，得到+β=，
∵，
∴tan（+β）===-1，
∴tan+tanβ=2-2，
∴tan=-，tanβ=2-或tan=2-，tanβ=-，
当=，β=，不满足题意；
当=，即α=，β=时，满足题意，
则M第一次由点A按逆时针方向运动到某定点B，
第二次由点A按逆时针方向运动到定点F时满足题意．
分析：（Ⅰ）根据C的坐标及C在第一象限，得到tanα的值，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，即为α的度数；同理根据D的坐标，及第二次由点A按逆时针方向运动到某定点D，得到β的度数，代入cos（α-β），把角变形为-，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求出值；
（Ⅱ）存在两点B和F，满足题意，理由为：由已知的α+2β的度数求出的度数，然后利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简tan（），把的值及的度数代入，求出的值，两者联立分别求出的值，根据特殊角的三角函数值即可得到α，β的度数，进而找出对应的点．
点评：此题考查了三角函数恒等式的证明，涉及的知识有两角和与差的正切、余弦函数公式，点与坐标系，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．