Question

【题目】已知函数，.

（1）当时，证明：；

（2）若在只有一个零点，求.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2

【解析】

（1）当时，，其定义域为，利用导函数可求得在上的单调性，进而可证明；

（2）若或，利用导数研究函数的单调性，可证明函数的零点个数不唯一，与已知条件矛盾；若时，由（1）可知，在只有一个零点.

（1）当时，，其定义域为，

令，则，

若，则，则，则在上单调递减，

又，故，故在上单调递增，

又，故对任意，恒成立；

若，因为且，所以，则在上单调递减，

又，故对任意，恒成立.

综上，当时，对任意，恒成立.

（2）①若时，令，则，

易知时，，则，即在上单调递减，

由，且，，

结合零点存在性定理知在内存在实数使得，

故时，单调递增，时，单调递减.

由，可知.

因为，所以，即，

所以，

因为时，，所以，

因为，，所以在上存在一个不为0的零点，

因为，所以时，函数的零点个数不唯一，与题意矛盾，所以；

②若时，，易知在上单调递减，

又，，

结合零点存在性定理知，存在使得，

故当时，，时，，

即在上单调递增，在上单调递减，

又，故；

构造函数，，则，

则，显然时，，

故在单调递减，又，故，故在单调递减，

又，故，即，对任意恒成立，

因为，所以，故，即，故恒成立，

所以，

因为时，，而，，所以，即，

所以在上存在一个大于0的零点，

因为，所以时，函数的零点个数不唯一，与题意矛盾，所以；

若时，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，且，显然函数在只有一个零点.

综上，要使在只有一个零点，则.