Question

过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l₁、l₂，若l₁交x轴于A点，l₂交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

解法一:设点M的坐标为(x，y).∵M为线段AB的中点，∴A的坐标为(2x，0)，B的坐标为(0，2y).∵l₁⊥l₂，且l₁、l₂过点P(2，4)，∴PA⊥PB，k_PA·k_PB=-1．而k_PA=(x≠1)，

k_PB=，∴=-1(x≠1)．

    整理，得x+2y-5=0(x≠1)

    ∵当x=1时，A、B的坐标分别为(2，0)、(0，4),

    ∴线段AB的中点坐标是(1，2)，它满足方程x+2y-5=0.

    综上所述，点M的轨迹方程是x+2y-5=0.

解法二:设M的坐标为(x，y)，则A、B两点的坐标分别是(2x，0)、(0，2y)，连结PM.

∵l₁⊥l₂，∴2|PM|=|AB|.

而|PM|=,

|AB|=，

∴2=，

化简，得x+2y-5=0，即为所求轨迹方程．

解法三:∵l₁⊥l₂，OA⊥OB，

∴O、A、P、B四点共圆，且该圆的圆心为M.

∴|MP|=|MO|.

∴点M的轨迹为线段OP的中垂线.

∵k_OP==2，OP的中点坐标为（1，2），

∴点M的轨迹方程是y-2=-(x-1)，即x+2y-5=0.