Question

11．若${（1+\sqrt{3}）^5}=a+b\sqrt{3}$（a，b为有理数），则a+b=120．

Answer 1

分析 由题意，${（1+\sqrt{3}）}^{5}$=a+b$\sqrt{3}$的展开式中所有实数项的和为a，所有无理数项中$\sqrt{3}$的系数的和为b，由此求得a，b的值，即可求出a+b得到答案．

解答 解：由题意若${（1+\sqrt{3}）}^{5}$=a+b$\sqrt{3}$（a，b为有理数），由二项式定理得，
a=C₅⁰+C₅²×3+C₅⁴×9=76，
b=C₅¹+C₅³×3+C₅⁵×9=44，
∴a+b=120，
故答案为：120．

点评 本题考查二项式定理的应用，熟练掌握二项式定理，理解方程若${（1+\sqrt{3}）}^{5}$=a+b$\sqrt{3}$（a，b为有理数）的意义是解题的关键，理解a，b的意义是本题的难点，也是求解本题的切入点，解题时能把这样的切入点找出来，解题就成功了一半，属于中档题．