Question

20．设$f（n）={（{\frac{1+i}{1-i}}）^n}+{（{\frac{1-i}{1+i}}）^n}$（n∈N），则集合{x|x=f（n）}中元素个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 无穷多个

Answer 1

分析 依据两个复数代数形式的除法法则，化简：$\frac{1+i}{1-i}$和$\frac{1-i}{1+i}$，得到f（n）=iⁿ+（-i）ⁿ，分 n=4k，n=4k+1，n=4k+2，n=4k+3这四种情况分别求出f（n）的值，即得结论

解答 解：∵$\frac{1+i}{1-i}$=$\frac{（1+i）^{2}}{（1-i）（1+i）}$=i，∴$\frac{1-i}{1+i}$=$\frac{1}{i}$=-i，
根据虚数单位i的幂运算性质，$f（n）={（{\frac{1+i}{1-i}}）^n}+{（{\frac{1-i}{1+i}}）^n}$=iⁿ+（-i）ⁿ=$\left\{\begin{array}{l}{2，（n=4k，k∈z）}\\{0，（n=4k+1，或n=4k+3，k∈z）}\\{-2，（n=4k+2，k∈z）}\end{array}\right.$，
故集合{x|x=f（n）}中元素个数是3个，
故选：C．

点评 本题考查复数代数形式的混合运算，虚数单位i的幂运算性质，体现了分类讨论的数学思想，分类讨论是解题的难点．