Question

16．设函数f（x）=$cos（2x+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}$sinxcosx．
（Ⅰ） 求函数f（x）在$[{-\frac{2π}{3}，\frac{π}{3}}]$上的单调递减区间．
（Ⅱ） 若△ABC满足f（B）=-$\frac{1}{18}，AC=2\sqrt{5}$，BC=6，求AB的长．

Answer 1

分析 （I）利用和差公式、倍角公式、三角函数的单调性即可得出．
（II）由f（B）=-$\frac{1}{18}$，及其倍角公式可得解得cosB．由b＜a，可得B为锐角．再利用余弦定理即可得出．

解答 解：（I）函数f（x）=$cos（2x+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}$sinxcosx=$\frac{1}{2}cos2x-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$+$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$=$\frac{1}{2}$cos2x．
由2kπ≤2x≤2kπ+π，解得$kπ≤x≤kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z），
∴$[kπ，kπ+\frac{π}{2}]$∩$[{-\frac{2π}{3}，\frac{π}{3}}]$=$[-\frac{2π}{3}，-\frac{π}{2}]$∪$[0，\frac{π}{3}]$，
∴函数f（x）在$[{-\frac{2π}{3}，\frac{π}{3}}]$上的单调递减区间为$[-\frac{2π}{3}，-\frac{π}{2}]$，或$[0，\frac{π}{3}]$．
（II）由f（B）=-$\frac{1}{18}$，∴$\frac{1}{2}cos2B$=-$\frac{1}{18}$，∴cos2B=-$\frac{1}{9}$=2cos²B-1，解得cosB=$±\frac{2}{3}$．
∵b＜a，
∴B为锐角．
∴b²=c²+a²-2cacosB，
∴$（2\sqrt{5}）^{2}$=c²+6²-12ccosB，
化为c²-8c+16=0，
解得c=4．

点评 本题考查了和差公式、倍角公式、三角函数的单调性、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．