Question

4．有以下命题：
①对任意的α∈R都有sin3α=3sinα-4sin³α成立；
②对任意的△ABC都有等式a=bcosC+ccosB成立；
③满足“三边是连续的三个正整数且最大角是最小的2倍”的三角形存在且唯一；
④若A，B是钝角△ABC的二锐角，则sinA+sinB＜cosA+cosB．
其中正确的命题的个数是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 ①通过sin3α=sin（α+2α）、利用二倍角公式及平方关系化简可知正确；②利用正弦定理化简可知正确；③假设存在正整数k、k+1、k-1分别为三角形ABC的三边长，
且其对应的角分别为A、B、C，利用三角形内角和可知36°＜C＜45°，利用正弦定理化简可知cosC=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{k-1}$，进而求出不等式$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{k-1}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$的正整数解并检验即得结论；④通过A、B是钝角△ABC的二锐角可知0°＜B＜90°-A＜90°，进而sinB＜sin（90°-A）=cosB，同理cosA＞cos（90°-B）=sinA，整理即得结论．

解答 解：①对任意的α∈R都有sin3α=sin（α+2α）
=sinαcos2α+cosαsin2α
=sinα（cos²α-sin²α）+2sinαcos²α
=sinα（1-2sin²α）+2sinα（1-sin²α）
=3sinα-4sin³α，
故①正确；
②对任意的△ABC都有$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，
∴a=2RsinA
=2Rsin（B+C）
=2RsinBcosC+2RsinCcosB
=bcosC+ccosB，
故②正确；
③假设存在正整数k、k+1、k-1分别为三角形ABC的三边长，
且其对应的角分别为A、B、C，
∴$\frac{k+1}{sinB}$=$\frac{k}{sinA}$=$\frac{k-1}{sinC}$=2R，
∵B=2C，
∴sinB=sin2C=2sinCcosC，
∴$\frac{k+1}{2sinCcosC}$=$\frac{k-1}{sinC}$，即cosC=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{k-1}$，
又∵C＜A＜B，即C＜A＜2C，
∴36°＜C＜45°，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cosC＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{k-1}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{k-1}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$，
∴$\sqrt{3}$+1＜k-1＜$2\sqrt{2}+$2，
∴$\sqrt{3}$+2＜k＜$2\sqrt{2}+$3，
∴k=4或k=5，
经检验可知当k=5时不满足题意，
故③正确；
④∵A，B是钝角△ABC的二锐角，
∴A+B＜90°，
∴0°＜B＜90°-A＜90°，
∴sinB＜sin（90°-A）=cosA，
同理cosA＞cos（90°-B）=sinB，
∴sinA+sinB＜cosA+cosB，
故④正确；
故选：A．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，注意解题方法的积累，属于中档题．