Question

已知函数y=f（x）=log_a（1-a^x）（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的定义域、值域；
（2）证明f（x）在定义域上是减函数．

Answer 1

解：（1）由1-a^x＞0，得a^x＜1．（1分）
当a＞1时，x＜0；（2分）
当0＜a＜1时，x＞0．（3分）
所以f（x）的定义域是当0＜a＜1时，x∈（0，+∞）；当a＞1时，x∈（-∞，0）．（4分）
又当a＞1时，x＜0，?1＞1-a^x＞0，?log_a（1-a^x）＜0，即函数的值域为（-∞，0）．
当时，x＞0，?1＞1-a^x＞0，?log_a（1-a^x）＞0，即函数的值域为（0，+∞）．
所以f（x）的值域是，当0＜a＜1时，y∈（0，+∞）；当a＞1时，y∈（-∞，0）．
（2）当0＜a＜1时，任取x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，（5分）
则 ，所以 ．（6分）
因为0＜a＜1，所以 ，即f（x₁）＞f（x₂）．（8分）
故当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）上是减函数．（9分）
同理，当a＞1时，任取x₁、x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，（10分）
可得当a＞1时，f（x）在（-∞，0）上也是减函数．（14分）．
分析：（1）由1-a^x＞0，得a^x＜1 下面分类讨论：当a＞1时，x＜0；当0＜a＜1时，x＞0即可求得f（x）的定义域及值域；
（2）先对a值进行分类讨论：当a＞1时，当0＜a＜1时，再任取x₁、x₂属于集合范围之内，结合函数的单调性的定义讨论函数f（x）的单调性．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、对数函数的定义域值域、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．