Question

【题目】设函数f(x)＝ (a∈R)．

(1)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)若f(x)在[3，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）3x－ey＝0（2）

【解析】

（1）先根据极值定义得a的值，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式得切线方程，（2）先求导数，解得导函数零点，根据条件得零点与3的关系，解分式不等式得a的取值范围．

解　(1)对f(x)求导得

f′(x)＝

＝，

因为f(x)在x＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，即a＝0.

当a＝0时，f(x)＝，f′(x)＝，故f(1)＝，f′(1)＝，从而f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝ (x－1)，化简得3x－ey＝0.

(2)由(1)知f′(x)＝.

令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，

由g(x)＝0解得x1＝，

x2＝.

当x＜x1时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，故f(x)为减函数；

当x1＜x＜x2时，g(x)＞0，即f′(x)＞0，故f(x)为增函数；

当x＞x2时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，故f(x)为减函数．

由f(x)在[3，＋∞)上为减函数，知x2＝≤3，解得a≥－，

故a的取值范围为.